LEY DEL COSENO

LEY DEL COSENO

La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.La ley de los cosenos establece:

c² = a² + b² – 2a.b.cos C.

Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.

La ley de los cosenos también puede establecerse como

b² = a²+ c² – 2.a.c.cos B o a² = b² + c² – 2b.c.cos A.

DEMOSTRACIONES:

EJEMPLOS:

 Ejemplo 1:

 Dos lados y el ángulo incluído-L,A,L,entonces Dado a = 11, b = 5 y C = 20°. Encuentre el lado y ángulos faltantes.

aplicamos ley de cosenos

c²==a²+b²-2a.b.cos c

c=√ a²+b²-2a.b.cos c

c=√ 11²+5²-2.11.5.cos 20= 6,53

ahora aplicamos ley de senos

a/sin A=b/sin B=c/sin C

11/sin A=5/sin B=6,53/sin 20

sin A=11.sin 20/6,53=144,82° 

sin B=5.sin 20/6,53=15,2°

Ejemplo 2:

Tres lados-L,L,L,entonces Dado a = 8, b = 19 y c = 14. Encuentre las medidas de los ángulos.

aplicamos ley de cosenos

b²= a² + c² - 2a.c.cos B

cos B= b² - a²- c²/-2a.c = 19²-8²-14²/-2.8.14=-0,45089= 116,80°

ahora aplicamos ley de senos

a/sin A=b/sin B=c/sin C

8/sin A=19/sin 116,80°=14/sin C

sin A= 8.sin 116,80°/19= 22,08°

sin B=14.sin 116,80°/19=41,12°